Cet ouvrage, issu de cours donnés à l'université de Moscou, est consacré aux fondements de l'algèbre linéaire. Il commence par un exposé des propriétés proprement algébriques des espaces vectoriels (calcul matriciel, dualité, sommes et quotients, structure des endomorphismes) et se poursuit par une étude détaillée des espaces vectoriels pourvus d'une géométrie par le truchement d'un "produit scolaire", c'est-à-dire d'une forme bilinéaire ou sesquilinéaire (espaces euclidiens ou hermitiens, espaces symplectiques). L'ouvrage propose ensuite une introduction à la géométrie affine et à la géométrie projective, agrémentée de quelques échappées (programmation linéaire, polynôme de Hilbert d'une variété algébrique). Il se termine par une présentation à la fois théorique et pratique de l'algèbre tensorielle. L'exposé est sobre au sens où il évite les lourdeurs de notation, les excès de formalisme ou les raffinements accessoires. Il s'attache non seulement à présenter les notions et à démontrer les résultats en toute rigueur, mais aussi à les expliquer et à leur donner chair. De ce souci d'explication relève la discussion systématique d'exemples liés à la physique (symétries de l'espace euclidien tridimensionnel, symétries de l'espace-temps en relativité restreinte, principes fondamentaux de la mécanique quantique), traités à la fois en tant qu'applications et en tant qu'éléments de compréhension de la théorie. Sous ce rapport, comme récrivent les auteurs, la notion de "produit scalaire", centrale dans une partie de l'ouvrage, "peut servir à mesurer les angles dans des espaces euclidiens abstraits. Mais le mathématicien qui ignore que cette même notion permet de mesurer des probabilités (dans des modèles de la mécanique quantique), des vitesses (dans l'espace de Minkowski de la théorie de la relativité restreinte) et les coefficients de corrélation de variables aléatoires (en théorie des probabilités) se prive non seulement d'élargir son horizon, mais aussi de nourrir son intuition proprement mathématique." Tout en gardant un caractère élémentaire, le livre aborde, présentés de façon concise, des thèmes qu'on trouve rarement à ce niveau : langage des catégories, algèbres de Clifford, métrique kählérienne, produits tensoriels en mécanique quantique, etc. Il s'agit à la fois d'un ouvrage d'initiation à l'algèbre linéaire destiné aux étudiants en mathématiques (de licence ou des classes préparatoires) et d'un ouvrage de référence qui intéressera tant les étudiants en physique que les agrégatifs et les enseignants de mathématiques.
RECOLTES ET SEMAILLES I, II - REFLEXIONS ET TEMOIGNAGE SUR UN PASSE DE MATHEMATICIENConsidéré comme le génie des mathématiques de la seconde moitié du XXᵉ siècle, Alexandre Grothendieck est l'auteur de Récoltes et semailles, une sorte de "monstre" de plus de mille pages, selon ses propres termes. Le tapuscrit mythique, qui s'ouvre sur une critique acerbe de l'éthique des mathématiciens, emmènera le lecteur jusque dans les territoires intimes d'une expérience spirituelle après l'avoir initié à l'écologie radicale. Dans cette tresse littéraire s'entremêlent plusieurs récits, "un voyage à la découverte d'un passé ; une méditation sur l'existence ; un tableau de moeurs d'un milieu et d'une époque (ou le tableau du glissement insidieux et implacable d'une époque à une autre...) ; une enquête (quasiment policière par moments, et en d'autres frisant le roman de cape et d'épée dans les basfonds de la mégapolis mathématique...) ; une vaste divagation mathématique (qui en sèmera plus d'un...) ; [...] un journal intime ; une psychologie de la découverte et de la création ; un réquisitoire (impitoyable, comme1,930/mainssl/modules/MySpace/PrdInfo.php?sn=llp&pc=2312131880001
LE COURS D'ANALYSE DE TERENCE TAOLe cours d’analyse de Terence Tao, professeur à l’université de Californie à Los Angeles et médaillé Fields, s’adresse aux étudiants dès la première année des Licences scientifiques aussi bien qu’à ceux préparant le CAPES ou l'agrégation. Alliant pédagogie et exigence, il propose une mise en perspective inédite de l'ensemble de l'analyse mathématique. Conçu de façon à encourager l’étudiant à apprendre de manière active, il mêle de façon étroite cours et exercices, l’aidant ainsi à organiser et structurer progressivement les nouvelles connaissances et à acquérir la rigueur nécessaire pour réussir examens et concours.2,150/mainssl/modules/MySpace/PrdInfo.php?sn=llp&pc=2308001808213